Exemple : calcul d'une longueur avec le théorème d'Al-Kashi

Exemple

On considère le triangle \(\text{ROC}\) tel que \(\text{RO}=9~\text{cm}\), \(\text{RC}=5~\text{cm}\) et \(\widehat{\text{ORC}}=60°\).
On souhaite calculer la longueur \(\text{OC}\).

D'après le théorème d'Al-Kashi :
\(\text{OC}^2=\text{RO}^2+\text{RC}^2-2 \times \text{RO} \times \text{RC} \times\cos\left(\widehat{\text{ORC}}\right)\)
\(\hphantom{\text{OC}^2}=9^2+5^2-2 \times 9\times 5\times \cos(60°)\)
\(\hphantom{\text{OC}^2}=81+25-90\times \dfrac{1}{2}\)
\(\hphantom{\text{OC}^2}=81+25-45\)
\(\text{OC}^2=61\)

On en déduit que \(\text{OC}=\sqrt{61}\).